Cómo resolver progresiones y secuencias en el ICFES

¿Qué es una secuencia numérica?

Una secuencia numérica es simplemente una lista ordenada de números que sigue un patrón o regla. Por ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14... En esta secuencia, cada número es 3 más que el anterior. Esa regla (sumar 3) es lo que define la secuencia.

En el ICFES, las preguntas de secuencias te piden: encontrar el siguiente término, calcular un término específico (por ejemplo, el término 50), hallar la suma de los primeros n términos, o identificar el patrón a partir de una tabla o gráfica. Las dos familias principales son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.

Progresión aritmética: la más común en el ICFES

Una progresión aritmética (PA) es una secuencia donde la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma. Esa diferencia constante se llama "diferencia común" y se representa con la letra d.

Ejemplos: 3, 7, 11, 15, 19... (d = 4). También: 100, 90, 80, 70... (d = -10, porque va disminuyendo). Y: 1.5, 3, 4.5, 6, 7.5... (d = 1.5).

Las fórmulas clave que necesitas memorizar para el ICFES son:

• Término general: aₙ = a₁ + (n - 1) × d, donde a₁ es el primer término, d la diferencia y n la posición.
• Suma de los primeros n términos: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2. También se puede escribir como Sₙ = n × (2a₁ + (n-1)d) / 2.
• Para encontrar d: d = a₂ - a₁ (resta cualquier par de términos consecutivos).
• Cantidad de términos entre a₁ y aₙ: n = (aₙ - a₁) / d + 1.

Progresión geométrica: multiplicar en vez de sumar

Una progresión geométrica (PG) es una secuencia donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante llamado "razón" (r). A diferencia de la aritmética (que suma), la geométrica multiplica.

Ejemplos: 2, 6, 18, 54, 162... (r = 3, cada término se triplica). También: 1000, 500, 250, 125... (r = 0.5, cada término se reduce a la mitad). Y: 3, -6, 12, -24... (r = -2, alternando signos).

Las fórmulas esenciales son:

• Término general: aₙ = a₁ × r^(n-1), donde a₁ es el primer término, r la razón y n la posición.
• Suma de los primeros n términos: Sₙ = a₁ × (rⁿ - 1) / (r - 1), válida cuando r ≠ 1.
• Para encontrar r: r = a₂ / a₁ (divide cualquier término entre el anterior).

Cómo identificar el tipo de secuencia en el ICFES

El ICFES rara vez te dice "esta es una progresión aritmética". En cambio, te presenta una situación y tú debes reconocer qué tipo de secuencia aplica. Aquí tienes las claves para identificar rápidamente:

La regla general: si el cambio es constante en valor absoluto (suma o resta), es aritmética. Si el cambio es constante en proporción (multiplica o divide), es geométrica.

Trampas comunes del ICFES en secuencias

El ICFES diseña sus distractores conociendo los errores más frecuentes de los estudiantes. Estos son los más comunes en preguntas de secuencias:

• Confundir la posición (n) con el valor del término (aₙ). El término 10 de la secuencia NO es "cuando el valor llega a 10".
• Olvidar el (n-1) en la fórmula y usar n directamente. Si te piden el término 5 y usas a₅ = a₁ + 5d en vez de a₅ = a₁ + 4d, tu respuesta será un distractor que el ICFES pone a propósito.
• En progresiones geométricas, confundir r con d. Si los términos son 2, 6, 18, la razón es r = 3 (multiplicar), no d = 4 (diferencia entre 2 y 6).
• No verificar si la secuencia empieza en el término 0 o en el término 1. Algunas preguntas del ICFES usan n = 0 como inicio (especialmente en contextos de crecimiento poblacional).
• En sumas, usar la fórmula de suma aritmética para una progresión geométrica o viceversa.

Ejemplo tipo ICFES resuelto paso a paso

"Una empresa alquila maquinaria. El primer mes cobra $200.000, y cada mes siguiente el cobro aumenta $15.000 respecto al mes anterior. ¿Cuánto pagará la empresa en total por 12 meses de alquiler?"

Paso 1: Identificar el tipo. El cobro "aumenta $15.000 cada mes" → cambio constante → progresión aritmética. a₁ = 200.000, d = 15.000.

Paso 2: Calcular el último término (mes 12). a₁₂ = 200.000 + (12-1) × 15.000 = 200.000 + 165.000 = 365.000.

Paso 3: Calcular la suma de los 12 meses. S₁₂ = 12 × (200.000 + 365.000) / 2 = 12 × 282.500 = 3.390.000.

Respuesta: $3.390.000. Los distractores típicos serían: $3.240.000 (si usas n en vez de n-1), $365.000 (si solo calculas el último término) y $2.400.000 (si multiplicas 200.000 × 12 sin considerar el incremento).

Consejos para dominar este tema

Las progresiones son uno de los temas más "rentables" del ICFES: con pocas fórmulas bien aprendidas puedes resolver preguntas que aparecen en casi todos los exámenes. Aquí van los consejos finales:

• Memoriza solo 4 fórmulas: término general PA, suma PA, término general PG y suma PG. Con esas cuatro cubres el 95% de las preguntas.
• Practica la identificación del tipo de secuencia. Lee 10 enunciados sin resolver y solo clasifica: ¿aritmética o geométrica?
• Siempre verifica tu respuesta sustituyendo. Si calculas que a₅ = 23, sustituye n = 5 en tu fórmula y confirma.
• Haz al menos 15 preguntas de secuencias de cuadernillos ICFES anteriores. Verás que los patrones se repiten.

Preguntas frecuentes.